掛け算の順序論争について

１．これまでの展開と私の見解

「掛け算の順序論争」というものがある様だ。どうやら、かなり以前（1970年台頃）から繰り返し出ている話題らしい。
先週末くらいにTwitterでやり取りしている方々がいらしたと思ったら、早速幾つかとぅぎゃったになっていた（例えばこれとか）。色々拝見した結果、この件に対する現時点での私の考えは、以下の通り。

1)順序にこだわるのはナンセンス。
2)「掛ける数」と「掛けられる数」との違いを理解させるべき、という意見には一理ある。
3)しかし「掛ける数と掛けられる数との違いに関する理解」にこだわるのであれば、むしろ単位を重視すべきであり、やはり順序にこだわるのはナンセンス。
4)しつこい様だが、式の順序を「正しく」書いているかどうかで理解度は測れない。「正しい」順序で立式している子の中にも理解が不十分な子は居るだろうし「間違った」順序で立式した子の中にも理解している子は居る筈だから。

一言でまとめるのなら「順序にこだわる事によるメリットが全く見つけられない」となる。



２．その後の経過

その後、ちょちょんまげさんの記事を拝見して私の殺伐としかかっていた気持ちが多少慰められたり、佐々さんの簡にして要を得た解説に感心したり、さつきさんの一連の記事（１・２・３）を拝見して私が漠然と考えていた内容を見事に言語化していると喜んだりしていた（その他にも幾つかのブログ記事やTwitterでの議論を参照したが、煩雑になるので詳細は省略する）。
但し、さつきさんの記事の中で述べられている「助数詞廃止論」に関しては少々異論がある。私の意見は「少なくとも半分は廃止すべし」つまり「助数詞は原則として廃止した方が良いが、解で求められている助数詞に限り、残しても良い」である。具体的に言うと「一皿あたり3個の林檎が載った皿が5枚あったとき、林檎は幾つか」の問題においては[個]は残しても良いが[枚]は不要だと考える。何故なら、この場合、皿は問いの本質ではなく、人でも袋でも箱でも同じだからである。一方、[個]を残しても良いと考えるのは、その方が単位付きの計算に移行する際、感覚的に理解しやすいと考えるからである。助数詞は単位そのものではないが、単位付きの計算への導入になり得ると考えている。

で、数学的な立場から書かれた記事がないだろうかと思っていたら、Twitter経由でこちらの記事を知った。個人的には、もうこれで論争に決着がついたと看做して良いと思う（それでもゴチャゴチャ言い続ける人は残るだろうけれども）。

３．順序にこだわる人達のスペクトラム

さて、少し情報を集めているうちに、順序にこだわる人達の中にも、色々な人が居るらしい事が解ってきた。概ね、以下の様に分けられると思う。

1)順序にこだわるのが「数学的にも正しい」と信じている人
2)学習指導要領に書いてあるから（いや、本当は書いてない事を読み取っているだけなのだが）その通りに教えるべきだと考える人
3)子供の発達段階に応じた理解をさせる為の便法（もっと言えば、必要悪）であると考えている人
4)子供に理不尽な事や「正しくてもバツを貰う」経験をさせる事も必要であると考える人、あるいは「子供は教師の言った事をそのまま覚えるのが正しい、疑問など持たずに鵜呑みにするのが正しい」と考えている人
などである。

このうち、私が話をする気になるのは3)の人だけである。便法であると理解しているのなら、最初から可換性のある操作だとして掛け算を教えれば良い（この点に関しては後述する）だけの事であるから。
一方、2)の人は、極めて官僚的な思考の持ち主である。もし指導要領と現実との狭間で悩まれているのなら、お気の毒だと感じるが、指導要領に従う事に全く疑問を感じていないのであれば、官僚としては優秀でも教育者として的確とは言い難い。
あるいは、2)の人の中には、指導要領に疑問を持ちながらもそれに従わざるを得ないジレンマを抱えている人がおられるかもしれない。更に想像を逞しくするなら、そのジレンマが認知的不協和を引き起こし、それを解消させる為に自ら「順序にこだわるのが正しい理屈」を考え出す様になってしまうかもしれない。つまり2)→1)への移行が生じうる。
とは言え、これらの人々はまだ可愛い方であり、個人的に最もお近付きになりたくないのは4)の人達である。端的に言って4)の立場は「教育」ではない。これは「躾け」である。しかも「内容的に間違った躾け」である。従って、もっと酷い言い方をすれば「調教」であるとも言える。
確かに、4)の立場の教師が居たとしても、同情の余地が無い訳でもない。そもそも学校に「躾け」まで求めるのは過大な要求であると私は考えているからである。言う事を聞かない子供（そして親！）に苦しめられている教師の方々がいらっしゃる事も（想像ではあるが）承知しているつもりである。あるいは、もしかしたら教師自らが指導要領の理不尽さに耐えているという思いが嵩じて、子供にまで理不尽さを押し付けてしまっているという（同情しても同調は出来ない）可能性も考えられる。その場合は2)の立場と重なる部分もあろう。
しかし、如何に同情の余地があるとしても、それでもなお、4)の立場は3重に間違っていると考える（詳細は次項で述べる）。

４．この問題が気になる理由

前項で述べた様に、上記4)の立場は3重に間違っていると考えるので、1つずつ述べていく。

1)たとえ躾けだと考えても、やはり間違っている。
もし「躾けだから問答無用」だと仰るのであれば、確かにその点には一理ある。しかし前述の様に、この場合は躾けの内容が間違っている。「問答無用の躾け」が正当化されるのは、躾けの内容が、本人が社会生活に適応していく上で有用であると判断されるからであろう。「掛け算の順序にこだわる事」にはそうした有用性が一切無い。その意味で、例えば「公共の場所ではむやみに走り回ったり大声を出したりしてはいけない」という類の躾けとは全く異なる。
敢えて例えるなら「教室で手を上げる時には人差し指を立てて上げなさい」というのと同じくらい無意味で無益なローカルルールであると言える。

2)その前にする事があるだろう。
そもそも世の中は理不尽さに満ちている。
従って、わざわざ理不尽さを作ってまで子供達に押し付ける必要は全く無い。
理不尽さを教えたいのなら、他に幾らでも方法がある筈。
そして、もし本当に理不尽さをきちんと教えたいのであれば、その前に「因果応報」という事を（言い方が悪いかもしれないが）きちんと叩き込んでおく必要がある。即ち、良い事をすれば褒め、悪い事をすれば叱る。正しい答にはマルを付け、間違った答にはバツを付ける。そうした経験を数多く積ませる事によって世の中（と教師）に対する信頼感を十分に醸成したうえでなければ、積極的に理不尽さに触れさせるべきではない。
もし早い段階で理不尽な状況に晒され続けていると、良くても教師不信（これは教育効果の著しい低下を意味する）に陥るだろうし、悪くすると善悪の判断が付けられない人間になってしまう可能性すらある。

3)学問を躾けの道具にすべきではない。
上記1)でも述べた様に「躾けだから問答無用」という立場それ自体には、一理ある。
しかし、そうであるならば、それこそ「理屈は不要」な筈なのだ。だのに何故理屈をこねるのか。それは学問と躾けの双方に対する侮辱である。
学問的に正しい理屈ですら、躾けの根拠にすべきではない。ましてや「学問的に間違っている屁理屈」などは論外である。これはもう、ニセ科学ならぬ「ニセ数学」と呼んでも良いかもしれない。

以上を一言でまとめるなら「水伝と類似の構造だと思えるから」となる（現実には役に立たない、という意味ではむしろ水伝よりも酷いかもしれない）。その意味では水伝と同様に、一見すると単純に見えるけれども、実は根の深い問題なのかもしれない。

５．現場の教師を非難したい訳では無い

上記３．でも少し書いたが、現場の教師には同情すべき点が多々ある。理想と現実とのギャップに苦しんだり、指導方法に疑問を持ちながらも現状を変える方策を見出せない方もおられるだろう。
なので、この問題を「現場教師に対する非難」に矮小化させるのは反対である。
しかし一方で、妙に理論武装している様な人に対しては積極的に批判していくべきだとも思う。この記事を書いた大きな理由の一つも、そこにある。

なお、これに関しては、あらきけいすけさんのエントリが大変参考になった。但し、あらきさんの仰る

＞大学教師も何人も参戦していて、こんな目先の議論に終始しているというのが情けない。

という部分には、２つの意味で賛成できない。
まず、大学と小学校では、全く状況が異なる。一番違うのは「教える内容があらかじめ決められているか否か」である。その意味で小学校の教師には裁量の余地が全くと言って良いほど、無い。一方で、その点に関しては大学の教官は完全に自由だと言っても良いくらいである（自由すぎてトンデモな持論を講義してしまう教官が居るのは困るが、取り敢えずは「それも必要悪であろう」と言っておく）。
そうした不幸な状況の中では、どうしても小学校の教師は官僚的にならざるを得ない。それに比べると大学の教官は「学問の徒」という意味合いが濃い。

次に、私の個人的な意見では、Twitterは真剣で深い議論には不向きだと思う。ただでさえ文字によるやり取りでは誤解が生じ易いのに、そこに140文字という制限まで加わっている。従ってまとまった事をきちんと言おうとすると、下書きした上でそれを140文字以内に分割して連続tweetしなければならない。そんな事をしているうちに、前の方の発言はTLに埋もれてしまうかもしれない。
一方では比較的簡単に参入できるので気軽に呟く人も居る。
まぁ、自分も使っといて言うのも何だが、Twitter上の議論「だけ」を判断や評価の根拠にするのには慎重であるべきだと思うし、どうしても「目先の議論」になりがちな傾向があるとも思う。

６．最初から可換性にこだわった方が、むしろ理解が早まるのでは？

以下に述べる内容は、Twitterでも何人かの方が言及しておられたものと類似している。
例えば15個のおはじきを長方形に並べて、縦に並べても横に並べても数は変わらない事、あるいは一旦長方形に並べたおはじきを、3個ずつ丸で囲んで5つに分けても、5個ずつ丸で囲んで5つに分けても数が変わらない事を「最初に」教える。
子供はくっつけたり分解したりする事が好きだろうから、こうやって色々いじっていれば、
15=3×5=5×3
という事を、実感として覚えていくと思う。
ここで「それって掛け算と言うより割り算なんじゃないの？」と思われる方がいらっしゃるかもしれない。実際、上記の様に数をいじっていれば「15を3つに分ければ5である」とか「15の中に3は5つ含まれている」とかに気付くのは比較的容易であろう。
そして、実はそれこそが、この方法の更なる利点でもある。つまり「割り算は掛け算の逆演算である」事が自然に納得できる。そして、以下の4つの式
3×5=15
5×3=15
15÷3=5
15÷5=3
が本質的には同じものである、というところまで行って欲しいのである。
もし、あくまで「掛け算の順序」にこだわるのであれば、これら4つの式は全て「別々のもの」という事になる。そんなのは全く時間と労力の無駄である。

子供の為を願うのであれば、掛け算の順序にこだわるべきではない。それは無益なばかりではなく、むしろ有害なのだから。

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